ఫారెస్ట్ ఆఫీసర్స్ జనరల్ మ్యాథమెటిక్స్

త్రికోణమితి
 చిన్న కోణాలను కొలవడానికి ముఖ్యంగా మూడు రకాల కొలమానాలు ఉన్నాయి. అవి..
     i)     షష్ఠ్యంశమానం
     ii)     శతాంశ మానం
     iii)    రేడియన్ మానం
 షష్ఠ్యంశ మానం:
 తొలి భుజం నుంచి అంతిమ భుజానికి ఏర్పడిన భ్రమణం ఒక సంపూర్ణ భ్రమణంలో 360వ భాగమైతే, దాన్ని ఒక డిగ్రీ (1ని) అంటారు. 1ని ని  60 సమాన భాగాలు చేస్తే, ఒక్కొక్క భాగాన్ని 1 నిమిషం (1’) అంటారు. ప్రతి నిమిషాన్ని తిరిగి 60 సమాన భాగాలు చేస్తే, ప్రతి సమ భాగాన్ని ఒక సెకన్ (1‘) అంటారు. ఈ పద్ధతిని ‘షష్ఠ్యంశమానం’  అంటారు.
 
 శతాంశ మానం:
 ఈ విధానంలో ఒక లంబ కోణాన్ని 100 సమాన భాగాలు చేస్తే ఒక్కొక్క భాగాన్ని ఒక గ్రేడ్(1g) అంటారు.
 
 రేడియన్ మానం:
 వృత్త వ్యాసార్ధంతో సమానమైన చాపం, వృత్తకేంద్రం వద్ద చేసే కోణాన్ని ఒక రేడియన్ అంటారు. దీన్ని 1c తో సూచిస్తారు.
 lp రేడియన్‌లు = 180ని ;
     1 రేడియన్ = 57ని.16’ ;
     1 డిగ్రీ = 0.01746 రేడియన్‌లు
 r వ్యాసార్ధం ఉన్న  వృత్తంలో  పొడవున్న చాపం, కేంద్రం వద్ద ’్ఞ’ కోణం చేస్తే
  = rq, q ను రేడియన్‌లలో  తెలపాలి.
 
 త్రికోణమితీయ సమీకరణాలు
 1.    Sin2 q + Cos2 q = 1
 2.    1 + Tan2 q = Sec2 q
 3.    1 + Cot2 q = Cosec2 q
 
 1.    కింది కోణాలను వర్తులమానం (రేడియన్
      మానం)లోకి మార్చండి?
     i) 15°    ii) 270°
 జ.    180° = p రేడియన్‌లు
 
 2.    కింది కోణాలను షష్ఠ్యంశమానంలోకి మార్చండి?
 
 జ.    pc = 180ని
     
 3.    ఒక వృత్త వ్యాసార్ధం 14 సెం.మీ. దీనిలోని ఒక చాపం కేంద్రం వద్ద 45ని చేస్తే,                 ఆ చాపం పొడవు ఎంత?
 జ.    వృత్త వ్యాసార్ధం ట = 14 సెం.మీ.
     q = 45ని, రేడియన్‌లలో తెలపాలి.
     180ని = pc
 చాపం పొడవు = 11 సెం.మీ.
 
 4.    Cos 0° + Sin 90° + Ö2 Sin 45° విలువ ఎంత?
 జ.    Cos 0° = 1, Sin 90° = 1,
 5.    Sin2 30° + Cos2 60° విలువ ఎంత?
 
 జ.    Sin2 30° + Cos2 60°
     
 6.    Tan A = 1 అయితే అ కోణాన్ని షష్ఠ్యంశమానంలో తెల్పండి?
 జ.    Tan A = 1
     Þ Tan A = Tan 45°
     ( పట్టిక నుంచి Tan 45° = 1)
     Þ A = 45°
     
 8.     q అల్పకోణం అయితే
     4 Sin2 q + Tan2 qSవిలువ ఎంత?
 
 జ.    ( పట్టిక నుంచి Cos 30° = Ö3/2)
     Þ q = 30°
     4 Sin2 q + Tan2 q = 4 Sin2 30° + Tan2 30°
 
 9.     అయితే Cos q, Tan q విలువలను కనుక్కోండి?
 జ.    ఇచ్చిన ABC లంబకోణ త్రిభుజం నుంచి..
     పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం
     AC2 = AB2 + BC2
     Þ (13)2 = (12)2 + BC2
     BC2 = (13)2 – (12)2
      = 169 – 144 = 25
     BC2 = 25 Þ BC = Ö25 = 5
     \ ఆసన్న భుజం ఆఇ = 5
     
     
 10.    5 Sin A = 3 అయితే Sec2 A  – Tan2A విలువ ఎంత?
 జ.    Note: 9వ సమస్యలా సాధించవచ్చు.
 
 Shortcut Method:
     {తికోణమితీయ సమీకరణం నుంచి..
     1 + Tan2 q = Sec2 q
     Sec2 q – Tan2 q = 1
     \ Sec2A – Tan2 A SÑË$Ð]l = 1
     (5 Sin A = 3 తో అవసరం లేకుండానే)
 11.    Tan (A+B) = Ö3, Tan A = 1 అయితే ÐB పరిమాణాన్ని షష్ఠ్యంశమానంలో కనుక్కోండి?
 జ.    Tan (A + B) = Ö3
     Þ Tan (A + B) = Tan 60°
     ( Tan 60° = Ö3)
     A + B = 60° –––– (1)
     Tan A = 1
     Þ Tan A = Tan 45°
     ( Tan 45° = 1)
     A = 45° –––– (2)
     (2)ను (1)లో రాస్తే 45° + B = 60°
     Þ B = 60° – 45° = 15°
 12.    Sin q = Cos q అయితే Tan q విలువ ఎంత?
 జ.    Sin q = Cosq
     ఇరువైపులా Cos q తో భాగిస్తే..
 
     
 
     
     \Tan ్ఞ విలువ ‘1’.
 13.    Sec q + Tan q = x ; Sec q – Tan q = y అయితే xy విలువ –––––
 జ.    x = Sec q + Tan q
     y = Sec q – Tan q
     xy = (Sec q + Tan q) (Sec q – Tan q)
     = Sec2 q – Tan2 q = 1
     (1 + Tan2 q = Sec2 q నుంచి..)
 14.    Cosecq – Cotq = 5 అయితే Cosecq = –––––
 జ.    Cosecq – Cotq = 5 –––– (1)
     1 + Cot2 q = Cosec2 q నుంచి..
     Cosec2 q – Cot2 q = 1
     (Cosecq + Cotq) (Cosecq – Cot q) = 1
     Cosec q + Cot q
 
      –––– (2)
     (1), (2) లను కలిపితే..
 
 15.    6 మీటర్ల పొడవున్న నిచ్చెనను ఒక నిటారు గా ఉన్న గోడకు తాకుతున్నట్లు ఏటవాలు గా అమర్చారు. నిచ్చెన క్షితిజ సమాంతరం తో 60ని కోణం చేస్తే, భూమి నుంచి ఎంత ఎత్తులో ఆ నిచ్చెన గోడను తాకుతోంది?
 జ.    నిచ్చెన గోడను తాకే ఎత్తు BC = జి మీ. అనుకుంటే..
     AC = నిచ్చెన పొడవు = 6 వీ పటం నుంచి..