మేథ్స్‌ సబ్జెక్ట్‌ కష్టం. అందులోని ట్రిగొనమెట్రీ మరింత కష్టం. ట్రిగొనమెట్రీ లోని పైథాగరస్‌ సిద్ధాంతం ఇంకాస్త కష్టం. ప్లస్‌ లు, మైనస్‌ లను ఎలాగో లాగించేయొచ్చు. త్రిభుజాలు, త్రికోణాల ట్రిగొనమెట్రీ (త్రికోణమితి) ని, పైథాగరస్‌ సిద్ధాంతాన్ని అర్థం చేసుకోటానికి, ఆ లెక్కల్ని పరిష్కరించటానికి ఒక గణిత శాస్త్రవేత్తకు ఉండేంత ఐ.క్యూ.లో పిసరంతైనా లేకుంటే బుర్ర తిరిగి పోతుంది. అలాంటిది ఈ అమ్మాయిలను చూడండి, త్రికోణమితిని ఉపయోగించి పైథాగరస్‌ సిద్ధాంతాన్ని రుజువు చేసే ఐదు కొత్త సూత్రాలను కనుక్కున్నారు! లూసియానా లోని న్యూ ఆర్లీన్స్ కాలేజ్‌ విద్యార్థినులు... కాల్సియా జాన్సన్, నేకియా జాక్సన్‌ వీళ్లు. మొదటిసారి 2022లో ఈ అమ్మాయిలు పైథాగరస్‌ సిద్ధాంతాన్ని రుజువు చేసే కొన్ని సూత్రాలను ఆవిష్కరించారు. ఆ హద్దులను కూడా దాటి ఇప్పుడు ఐదు అదనపు రుజువులకు దారి తీసే ఐదు ప్రత్యక్ష రుజువులు కనిపెట్టారు. వీటివల్ల ట్రిగ్‌నామెట్రీని అర్థం చేసుకోవటం మరింత తేలిక అవుతుంది.వీరు సాధించిన ఈ ఘనతను ప్రఖ్యాత ‘అమెరికన్‌ మేథమేటికల్‌ మంత్లీ‘ తన తాజా సంచికలో గొప్పగా ప్రచురించింది. అబ్బాయిలూ... మీరింకా ఫుట్‌ బాల్‌ గ్రౌండ్‌ లోనే ఉన్నారా.. మేథ్స్‌ పరిశోధనలో అమ్మాయిలు ఇంత పెద్ద గోల్‌ కొట్టారని తెలిసినా కూడా!!


 త్రికోణమితి
  చిన్న కోణాలను కొలవడానికి ముఖ్యంగా మూడు రకాల కొలమానాలు ఉన్నాయి. అవి..
      i)     షష్ఠ్యంశమానం
      ii)     శతాంశ మానం
      iii)    రేడియన్ మానం
  షష్ఠ్యంశ మానం:
  తొలి భుజం నుంచి అంతిమ భుజానికి ఏర్పడిన భ్రమణం ఒక సంపూర్ణ భ్రమణంలో 360వ భాగమైతే, దాన్ని ఒక డిగ్రీ (1ని) అంటారు. 1ని ని  60 సమాన భాగాలు చేస్తే, ఒక్కొక్క భాగాన్ని 1 నిమిషం (1’) అంటారు. ప్రతి నిమిషాన్ని తిరిగి 60 సమాన భాగాలు చేస్తే, ప్రతి సమ భాగాన్ని ఒక సెకన్ (1‘) అంటారు. ఈ పద్ధతిని ‘షష్ఠ్యంశమానం’  అంటారు.
  
  శతాంశ మానం:
  ఈ విధానంలో ఒక లంబ కోణాన్ని 100 సమాన భాగాలు చేస్తే ఒక్కొక్క భాగాన్ని ఒక గ్రేడ్(1g) అంటారు.
  
  రేడియన్ మానం:
  వృత్త వ్యాసార్ధంతో సమానమైన చాపం, వృత్తకేంద్రం వద్ద చేసే కోణాన్ని ఒక రేడియన్ అంటారు. దీన్ని 1c తో సూచిస్తారు.
  lp రేడియన్‌లు = 180ని ;
      1 రేడియన్ = 57ని.16’ ;
      1 డిగ్రీ = 0.01746 రేడియన్‌లు
  r వ్యాసార్ధం ఉన్న  వృత్తంలో  పొడవున్న చాపం, కేంద్రం వద్ద ’్ఞ’ కోణం చేస్తే
   = rq, q ను రేడియన్‌లలో  తెలపాలి.
  
  త్రికోణమితీయ సమీకరణాలు
  1.    Sin2 q + Cos2 q = 1
  2.    1 + Tan2 q = Sec2 q
  3.    1 + Cot2 q = Cosec2 q
  
  1.    కింది కోణాలను వర్తులమానం (రేడియన్
       మానం)లోకి మార్చండి?
      i) 15°    ii) 270°
  జ.    180° = p రేడియన్‌లు
  
  2.    కింది కోణాలను షష్ఠ్యంశమానంలోకి మార్చండి?
  
  జ.    pc = 180ని
      
  3.    ఒక వృత్త వ్యాసార్ధం 14 సెం.మీ. దీనిలోని ఒక చాపం కేంద్రం వద్ద 45ని చేస్తే,                 ఆ చాపం పొడవు ఎంత?
  జ.    వృత్త వ్యాసార్ధం ట = 14 సెం.మీ.
      q = 45ని, రేడియన్‌లలో తెలపాలి.
      180ని = pc
  చాపం పొడవు = 11 సెం.మీ.
  
  4.    Cos 0° + Sin 90° + Ö2 Sin 45° విలువ ఎంత?
  జ.    Cos 0° = 1, Sin 90° = 1,
  5.    Sin2 30° + Cos2 60° విలువ ఎంత?
  
  జ.    Sin2 30° + Cos2 60°
      
  6.    Tan A = 1 అయితే అ కోణాన్ని షష్ఠ్యంశమానంలో తెల్పండి?
  జ.    Tan A = 1
      Þ Tan A = Tan 45°
      ( పట్టిక నుంచి Tan 45° = 1)
      Þ A = 45°
      
  8.     q అల్పకోణం అయితే
      4 Sin2 q + Tan2 qSవిలువ ఎంత?
  
  జ.    ( పట్టిక నుంచి Cos 30° = Ö3/2)
      Þ q = 30°
      4 Sin2 q + Tan2 q = 4 Sin2 30° + Tan2 30°
  
  9.     అయితే Cos q, Tan q విలువలను కనుక్కోండి?
  జ.    ఇచ్చిన ABC లంబకోణ త్రిభుజం నుంచి..
      పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం
      AC2 = AB2 + BC2
      Þ (13)2 = (12)2 + BC2
      BC2 = (13)2 – (12)2
       = 169 – 144 = 25
      BC2 = 25 Þ BC = Ö25 = 5
      \ ఆసన్న భుజం ఆఇ = 5
      
      
  10.    5 Sin A = 3 అయితే Sec2 A  – Tan2A విలువ ఎంత?
  జ.    Note: 9వ సమస్యలా సాధించవచ్చు.
  
  Shortcut Method:
      {తికోణమితీయ సమీకరణం నుంచి..
      1 + Tan2 q = Sec2 q
      Sec2 q – Tan2 q = 1
      \ Sec2A – Tan2 A SÑË$Ð]l = 1
      (5 Sin A = 3 తో అవసరం లేకుండానే)
  11.    Tan (A+B) = Ö3, Tan A = 1 అయితే ÐB పరిమాణాన్ని షష్ఠ్యంశమానంలో కనుక్కోండి?
  జ.    Tan (A + B) = Ö3
      Þ Tan (A + B) = Tan 60°
      ( Tan 60° = Ö3)
      A + B = 60° –––– (1)
      Tan A = 1
      Þ Tan A = Tan 45°
      ( Tan 45° = 1)
      A = 45° –––– (2)
      (2)ను (1)లో రాస్తే 45° + B = 60°
      Þ B = 60° – 45° = 15°
  12.    Sin q = Cos q అయితే Tan q విలువ ఎంత?
  జ.    Sin q = Cosq
      ఇరువైపులా Cos q తో భాగిస్తే..
  
      
  
      
      \Tan ్ఞ విలువ ‘1’.
  13.    Sec q + Tan q = x ; Sec q – Tan q = y అయితే xy విలువ –––––
  జ.    x = Sec q + Tan q
      y = Sec q – Tan q
      xy = (Sec q + Tan q) (Sec q – Tan q)
      = Sec2 q – Tan2 q = 1
      (1 + Tan2 q = Sec2 q నుంచి..)
  14.    Cosecq – Cotq = 5 అయితే Cosecq = –––––
  జ.    Cosecq – Cotq = 5 –––– (1)
      1 + Cot2 q = Cosec2 q నుంచి..
      Cosec2 q – Cot2 q = 1
      (Cosecq + Cotq) (Cosecq – Cot q) = 1
      Cosec q + Cot q
  
       –––– (2)
      (1), (2) లను కలిపితే..
  
  15.    6 మీటర్ల పొడవున్న నిచ్చెనను ఒక నిటారు గా ఉన్న గోడకు తాకుతున్నట్లు ఏటవాలు గా అమర్చారు. నిచ్చెన క్షితిజ సమాంతరం తో 60ని కోణం చేస్తే, భూమి నుంచి ఎంత ఎత్తులో ఆ నిచ్చెన గోడను తాకుతోంది?
  జ.    నిచ్చెన గోడను తాకే ఎత్తు BC = జి మీ. అనుకుంటే..
      AC = నిచ్చెన పొడవు = 6 వీ పటం నుంచి..