పైథాగరస్ నంబర్‌‌సను కనుక్కొందామా?

పైథాగరస్ నంబర్‌‌సను కనుక్కొందామా?

చుక్కా రామయ్య,  ప్రముఖ విద్యావేత్త
 
చాలా మంది పైథాగరస్ సిద్ధాంతం అంటే.. (భూమి)2 + (ఎత్తు)2 = (కర్ణం)2 అని, దీన్ని త్రిభుజంలో ఏవైనా రెండు భూజాలు ఇచ్చి మిగిలిన భుజం విలువను కనుక్కోవడానికి మాత్రమే ఉపయోగిస్తారని భావిస్తారు.
 
కానీ,పైథాగరస్ సూత్రం (భూమి)2 + (ఎత్తు)2 = (భుజం)2 ఉపయోగించి జామెట్రీ, నంబర్ థియరీ వంటి సమస్యలను కూడా సాధించవచ్చు. ఈ క్రమంలో పైథాగరస్ నంబర్‌‌స అయ్యే వాటి స్వరూపం కింది విధంగా ఉంటుంది.
 
 's', 't' అనేవి పైథాగరస్ నంబర్‌‌స అయితే వాటి స్వరూపం (2st)2 + (s2–t2) s2+t2)2 అవుతుంది.
     అంటే ఉదాహరణకు s = 1, t = 2 అనుకుంటే అప్పుడు ఫైథాగరస్ నంబర్ సెట్ అనేది
     2×1×2)2 + (12–22)2 = (12+22)
     42+32 = 52
     అంటే 3, 4, 5 అనేవి పైథాగరస్ నంబర్ సెట్ అను కుంటే వాటి స్వరూపాన్ని పైవిధంగా కనుక్కోవచ్చు.
         s    t    2st    s2–t2    s2+t2
         2    1    4    3    5
         3    2    12    5    13
         4    1    8    15    7
         4    3    24    7    25
         5    2    20    21    29
 ఈ విధంగా ఏ పైథాగరస్ సెట్ విలువల స్వరూపాన్నైనా కనుక్కోవచ్చు.
 
 మరో విషయం పైథాగరస్ సూత్రంలో ఏవైనా రెండు పైథాగరస్ నంబర్‌‌స తెలిస్తే మరో కొత్త పైథాగరస్ నంబర్‌ని కనుక్కోవచ్చు.
     
 ఉదాహరణకు x2+y2=z2, a2+b2=c2 అనే రెండు పైథాగరస్ సిరీస్‌ని తీసుకుందాం. అప్పుడు x, y, z; a, b, c పైథాగరస్ నంబర్‌‌స అవుతాయి.
     
 కాబట్టి మనకు రెండు పైథాగరస్ నంబర్‌‌స తెలిసినప్పుడు మరో కొత్త పైథాగరస్ నంబర్‌ని ఆల్జీబ్రా ఐడెంటిటీ (Alegbra Identity) ద్వారా
     (bx-ay)2+(ax+by)2=(a2+b2)(x2+y2) అవుతుంది.
     ఇప్పుడు 3, 4, 5; 12, 5, 13 అనే రెండు పైథాగరస్ నంబర్‌‌స సిరీస్‌ను తీసుకొని మరో కొత్త పైథాగరస్ నంబర్‌ను కనుక్కోవచ్చు.
     అంటే a= 3, b= 4, c= 5; x = 12, y= 5, z = 13
     (4×12–3×5)2 + (3×12+4×5)2
     = [(3)2+(4)2] [(12)2 + (5)2]
     (48–15)2 + (36+20)2
     = (9+16) + (144+25)
     (33)2 + (56)2 = (25)+(169)
     (33)2 + (56)2 = (65)2 వస్తుంది.
     కాబట్టి (bx-ay)2+(ax+by)2=(cz)2 అని రాసుకోవచ్చు. అంటే 3, 4, 5; 12, 5, 13 అనే రెండు పైథాగరస్ నంబర్‌‌స నుంచి 33, 56, 65 అనే కొత్త పైథాగరస్ నంబర్ రూపొందించవచ్చు.
 
 విద్యార్థుల మేధస్సుకు ప్రశ్నలు
 
 7, 6తో ఉత్పత్తి అయ్యే పైథాగరస్ నంబర్‌‌స కనుక్కోండి?
 5, 15, 20  పైథాగరస్ నంబర్‌‌స అవుతాయా?
 
 గమనిక: పై సమస్యలకు మీరు కూడా సులువైన, సరళమైన పద్ధతిలో సాధించి వివరణ పంపవచ్చు. కొత్త పద్ధతిలో పరిష్కారాలను పంపిన విద్యార్థుల పేర్లను ప్రచురిస్తాం. ఈ-మెయిల్: sakshieducation@gmail.com