మేథ్స్‌ సబ్జెక్ట్‌ కష్టం. అందులోని ట్రిగొనమెట్రీ మరింత కష్టం. ట్రిగొనమెట్రీ లోని పైథాగరస్‌ సిద్ధాంతం ఇంకాస్త కష్టం. ప్లస్‌ లు, మైనస్‌ లను ఎలాగో లాగించేయొచ్చు. త్రిభుజాలు, త్రికోణాల ట్రిగొనమెట్రీ (త్రికోణమితి) ని, పైథాగరస్‌ సిద్ధాంతాన్ని అర్థం చేసుకోటానికి, ఆ లెక్కల్ని పరిష్కరించటానికి ఒక గణిత శాస్త్రవేత్తకు ఉండేంత ఐ.క్యూ.లో పిసరంతైనా లేకుంటే బుర్ర తిరిగి పోతుంది. అలాంటిది ఈ అమ్మాయిలను చూడండి, త్రికోణమితిని ఉపయోగించి పైథాగరస్‌ సిద్ధాంతాన్ని రుజువు చేసే ఐదు కొత్త సూత్రాలను కనుక్కున్నారు! లూసియానా లోని న్యూ ఆర్లీన్స్ కాలేజ్‌ విద్యార్థినులు... కాల్సియా జాన్సన్, నేకియా జాక్సన్‌ వీళ్లు. మొదటిసారి 2022లో ఈ అమ్మాయిలు పైథాగరస్‌ సిద్ధాంతాన్ని రుజువు చేసే కొన్ని సూత్రాలను ఆవిష్కరించారు. ఆ హద్దులను కూడా దాటి ఇప్పుడు ఐదు అదనపు రుజువులకు దారి తీసే ఐదు ప్రత్యక్ష రుజువులు కనిపెట్టారు. వీటివల్ల ట్రిగ్‌నామెట్రీని అర్థం చేసుకోవటం మరింత తేలిక అవుతుంది.వీరు సాధించిన ఈ ఘనతను ప్రఖ్యాత ‘అమెరికన్‌ మేథమేటికల్‌ మంత్లీ‘ తన తాజా సంచికలో గొప్పగా ప్రచురించింది. అబ్బాయిలూ... మీరింకా ఫుట్‌ బాల్‌ గ్రౌండ్‌ లోనే ఉన్నారా.. మేథ్స్‌ పరిశోధనలో అమ్మాయిలు ఇంత పెద్ద గోల్‌ కొట్టారని తెలిసినా కూడా!!


 క్రీస్తుపూర్వం ఐదో శతాబ్దానికి చెందిన పైథాగరస్ గణితవేత్తగా సుప్రసిద్ధుడు. ఆయన ప్రతిపాదించిన గణిత సూత్రాలను ప్రపంచవ్యాప్తంగా విద్యార్థులు ఇప్పటికీ చదువుకుంటున్నారు. ఖగోళ శాస్త్రంలోను, సంగీతంలోను అతడికి ఘనమైన ప్రావీణ్యమే ఉండేది. అరిస్టాటిల్, ప్లాటో వంటి తత్వవేత్తలపై ప్రభావం చూపిన పైథాగరన్, ఒక చిత్ర విచిత్ర విలక్షణ మతాన్ని కూడా స్థాపించాడు. అప్పట్లో ఈ మతాన్ని అనుసరించేవారు ఎందరుండే వారో తెలియదు గానీ, ఇప్పుడైతే ఇది ఉనికిలో లేదు. ఆయన ప్రతిపాదించిన ఆచారాల ప్రకారం.. ఎట్టి పరిస్థితుల్లోనూ బీన్స్ తినరాదు. రాచబాటలపై పాదచారులు నడవరాదు. పొయ్యిపై నుంచి పాత్రను తీసేశాక, దాని గుర్తు పొయ్యిబూడిదపై లేకుండా చూసుకోవాలి. ఇళ్ల పైకప్పుల కింద పక్షులు గూళ్లు పెట్టకుండా చూసుకోవాలి.. ఇలాంటి వింతాచారాలను తెలుసుకుంటే ఈ మతం ఎందుకు అంతరించిందో అర్థంకావడం లేదూ!


 చుక్కా రామయ్య,  ప్రముఖ విద్యావేత్త
  
 చాలా మంది పైథాగరస్ సిద్ధాంతం అంటే.. (భూమి)2 + (ఎత్తు)2 = (కర్ణం)2 అని, దీన్ని త్రిభుజంలో ఏవైనా రెండు భూజాలు ఇచ్చి మిగిలిన భుజం విలువను కనుక్కోవడానికి మాత్రమే ఉపయోగిస్తారని భావిస్తారు.
  
 కానీ,పైథాగరస్ సూత్రం (భూమి)2 + (ఎత్తు)2 = (భుజం)2 ఉపయోగించి జామెట్రీ, నంబర్ థియరీ వంటి సమస్యలను కూడా సాధించవచ్చు. ఈ క్రమంలో పైథాగరస్ నంబర్‌‌స అయ్యే వాటి స్వరూపం కింది విధంగా ఉంటుంది.
  
  's', 't' అనేవి పైథాగరస్ నంబర్‌‌స అయితే వాటి స్వరూపం (2st)2 + (s2–t2) s2+t2)2 అవుతుంది.
      అంటే ఉదాహరణకు s = 1, t = 2 అనుకుంటే అప్పుడు ఫైథాగరస్ నంబర్ సెట్ అనేది
      2×1×2)2 + (12–22)2 = (12+22)
      42+32 = 52
      అంటే 3, 4, 5 అనేవి పైథాగరస్ నంబర్ సెట్ అను కుంటే వాటి స్వరూపాన్ని పైవిధంగా కనుక్కోవచ్చు.
          s    t    2st    s2–t2    s2+t2
          2    1    4    3    5
          3    2    12    5    13
          4    1    8    15    7
          4    3    24    7    25
          5    2    20    21    29
  ఈ విధంగా ఏ పైథాగరస్ సెట్ విలువల స్వరూపాన్నైనా కనుక్కోవచ్చు.
  
  మరో విషయం పైథాగరస్ సూత్రంలో ఏవైనా రెండు పైథాగరస్ నంబర్‌‌స తెలిస్తే మరో కొత్త పైథాగరస్ నంబర్‌ని కనుక్కోవచ్చు.
      
  ఉదాహరణకు x2+y2=z2, a2+b2=c2 అనే రెండు పైథాగరస్ సిరీస్‌ని తీసుకుందాం. అప్పుడు x, y, z; a, b, c పైథాగరస్ నంబర్‌‌స అవుతాయి.
      
  కాబట్టి మనకు రెండు పైథాగరస్ నంబర్‌‌స తెలిసినప్పుడు మరో కొత్త పైథాగరస్ నంబర్‌ని ఆల్జీబ్రా ఐడెంటిటీ (Alegbra Identity) ద్వారా
      (bx-ay)2+(ax+by)2=(a2+b2)(x2+y2) అవుతుంది.
      ఇప్పుడు 3, 4, 5; 12, 5, 13 అనే రెండు పైథాగరస్ నంబర్‌‌స సిరీస్‌ను తీసుకొని మరో కొత్త పైథాగరస్ నంబర్‌ను కనుక్కోవచ్చు.
      అంటే a= 3, b= 4, c= 5; x = 12, y= 5, z = 13
      (4×12–3×5)2 + (3×12+4×5)2
      = [(3)2+(4)2] [(12)2 + (5)2]
      (48–15)2 + (36+20)2
      = (9+16) + (144+25)
      (33)2 + (56)2 = (25)+(169)
      (33)2 + (56)2 = (65)2 వస్తుంది.
      కాబట్టి (bx-ay)2+(ax+by)2=(cz)2 అని రాసుకోవచ్చు. అంటే 3, 4, 5; 12, 5, 13 అనే రెండు పైథాగరస్ నంబర్‌‌స నుంచి 33, 56, 65 అనే కొత్త పైథాగరస్ నంబర్ రూపొందించవచ్చు.
  
  విద్యార్థుల మేధస్సుకు ప్రశ్నలు
  
  7, 6తో ఉత్పత్తి అయ్యే పైథాగరస్ నంబర్‌‌స కనుక్కోండి?
  5, 15, 20  పైథాగరస్ నంబర్‌‌స అవుతాయా?
  
  గమనిక: పై సమస్యలకు మీరు కూడా సులువైన, సరళమైన పద్ధతిలో సాధించి వివరణ పంపవచ్చు. కొత్త పద్ధతిలో పరిష్కారాలను పంపిన విద్యార్థుల పేర్లను ప్రచురిస్తాం. ఈ-మెయిల్: sakshieducation@gmail.com