గణితశాస్త్ర బోధన ఉద్దేశాలు, విలువలు
 
 ఏ ఫలితాలను ఆశించి బోధిస్తామో వాటినే ‘బోధన ఆశయాలు లేదా ఉద్దేశాలు’ అంటారు. ఇవి బోధన పూర్తి అయిన తర్వాత సిద్ధిస్తాయి.  మనం చేసే ప్రతి కృత్యానికి దిశా నిర్దేశం చేస్తూ గమ్యాన్ని చేరుకోవడానికి ఉపకరించేది ఉద్దేశం.
 జయాపజయాలను మాపనం చేసే సాధనమే ఉద్దేశం అని జాన్ డ్యూయి పేర్కొ న్నారు.
 విద్యా విధానం సరైన కార్యరూపం దాల్చడం ద్వారా విద్య ఉద్దేశాలను సాధించవచ్చు. ఇవి అంతిమ ఉద్దేశాలు.
 ఒక వ్యక్తి కొన్ని వస్తువులను కొనుగోలు చేస్తాడు. దీన్ని ఉపయోగాత్మక  విలువలో  చెబితే నిత్యజీవితంలో గణితాన్ని ఉపయోగిస్తాడు అని చెప్పవచ్చు. అదే ఉద్దేశ రూపంలో అయితే విద్యార్థి గణితాన్ని నిత్య జీవితంలో ఉపయోగించేలా
  చేయడం.
 గమ్యాలు, ఉద్దేశాలు, ఆశయాలు అనేవి  పర్యాయ పదాలు.
 ఉద్దేశాలు రెండు రకాలు. అవి.. సాధారణ ,  నిర్దిష్ట ఉద్దేశాలు
 సాధారణ ఉద్దేశాలనే సంక్షిప్తంగా ఉద్దేశాలుగా పిలుస్తారు. ఇవి దీర్ఘకాలంలో సాధించేవిగా ఉంటాయి. మూల్యాంకనం చేయడం కష్టం. సామాజిక అవసరాలకు అనుగుణంగా మానవుని అవసరాలు తీర్చేలా ఉంటాయి. విద్యావిధానంలో మార్గదర్శక సూత్రాలు స్థూలంగా ఉంటా యి. వీటిని ఒక దేశానికి చెందిన రాజకీయ, సామాజిక, ఆర్థిక, శాస్త్ర, సాంకేతిక నిపుణులు  నిర్ణయిస్తారు.
 నిర్దిష్ట ఉద్దేశాలను తక్కువ సమయంలో లేదా వెంటనే సాధించవచ్చు. వీటినే సంక్షిప్తంగా బోధనా లక్ష్యాలు అంటారు.
 ప్రాథమిక పాఠశాల స్థాయిలోగణిత బోధన ఉద్దేశాలు
 గణితం పట్ల ఆసక్తిని పెంపొందించడం
 గణిత భావనలపై అవగాహనతోపాటు నిజ జీవిత సమస్యల పరిష్కారంలో ఉపయోగించుకొనే నైపుణ్యాలు పెంచడం. సమస్యల సాధనలో వేగం, కచ్చితత్వం అలవడటం.
 విద్యార్థుల్లో తార్కిక ఆలోచనా శక్తిని అంచనా వేసే సామర్థ్యాలు పెంపొందించడం ద్వారా మానసిక క్రమశిక్షణ అభివృద్ధి చెందడం.
 మత, శుభ్రత, స్పష్టతకు సంబంధించిన విలువలు, వైఖరులు అలవర్చుకోవడం.
 గణిత భాష, గుర్తులు పరిచయం చేయడం
  
 ఉన్నత స్థాయి గణిత బోధన ఉద్దేశాలు
 విద్యార్థుల్లో తర్క వివేచన, విశ్లేషణ శక్తులను పెంపొందించడం.
 గణిత శాస్త్ర నైపుణ్యాలను, దృక్పథాలను విద్యార్థి నిత్య జీవితానికి వినియోగించుకొనేలా చేయడం.
 విద్యార్థులను ఉత్పాదకత, సృజనాత్మకత, నిర్మాణాత్మక జీవితాన్ని గడపడానికి సిద్ధం చేయడం.
 విద్యార్థుల్లో రసానుభూతి, తృప్తి, వ్యక్తిగత వికాసం మొదలైన వాటిని పెంపొందించడం.
 ఉద్దేశాలను సాధనా కాలాన్ని బట్టి రెండు రకాలుగా విభజిస్తారు.
 1) తక్షణ ఉద్దేశాలు
 2) దూరస్థ ఉద్దేశాలు
 గణితోపాధ్యాయుడు గణిత బోధనను ఎందుకు చేయాలో తెలుసుకోవడానికి గణిత బోధనోద్దేశాలు సహకరిస్తాయి.
 {పాథమిక, ప్రాథమికోన్నత, సెకండరీ, కళాశాల స్థాయిలో గణిత బోధనకు వివిధ రకాల ఉద్దేశాలున్నప్పటికీ సాధారణంగా ఉండేవి...
      1) ప్రయోజనోద్దేశం
      2) ఉదర పోషణోద్దేశం
      3) క్రమశిక్షణోద్దేశం
      4) వృత్తి సంబంధమైన ఉద్దేశం
      5) జ్ఞానోద్దేశం
      6) శీలోద్దేశం
      7) సాంస్కృతికోద్దేశం
      8) సన్నాహోద్దేశం
      9) స్వయం అధ్యయనోద్దేశం.
      ‘ఎందుకు బోధించాలి?’ అనే ప్రశ్నకు సంతృప్తికరమైన సమాధానమే ‘విద్యా విలువలు’.
      గణిత బోధన ద్వారా విద్యార్థుల్లో పెంపొందించే శక్తులనే ‘గణిత బోధన విలువలు’ అంటారు.
      బోధనా విలువలను ఆధారం చేసుకొని ఎన్నో ఫలితాలు, ప్రయోజనాలను ఆశించి గణితాన్ని బోధిస్తాం.
      విలువ అనేది ఉద్దేశంపై, ఉద్దేశం  విలువపై  ఆధారపడి ఉంటాయి.
      విద్యా విలువలు ఒక దేశ రాజకీయ, సామాజిక, ఆర్థిక సిద్ధాంతాలను దృష్టిలో పెట్టుకొని నిర్మితమవుతాయి.
  
      గణిత విలువలు - వర్గీకరణ
      యంగ్ విలువలు
      1) గణిత ప్రయోజన విలువ
      2) ఒక ఆలోచనా సరళిగా గణితం
      3) గణితం ఇతర విలువలు
      {బెస్లిచ్ - విలువలు
      1. అవగాహనలు    2. నైపుణ్యాలు
      3. సమస్యలు - పద్ధతులు
      4. అభినందనలు    5. దృక్పథాలు
      6. అలవాట్లు
      బ్లాక్ హార్‌స్ట్ - విలువలు
      1. దృక్పథాలు    2. భావనలు
      3. సమాచారం
      స్కార్లింగ్ - విలువలు
      1. దృక్పథాలు    2. భావనలు
      3. సామర్థ్యాలు    4. సమాచారం.
      మున్నిక్ - విలువలు
      1. ప్రయోజన విలువ 2. సిద్ధపర్చే విలువ
      3. సాంస్కృతిక విలువ
      4. క్రమశిక్షణ విలువ
 ప్రయోజన విలువ: నిత్య జీవితంలో సమస్యల పరిష్కారానికి దోహదపడుతుంది. ప్రతి వ్యక్తి తన వృత్తిని సమర్థవంతంగా నిర్వహించడానికి, వ్యక్తిగత, వ్యాపార, ఆర్థిక, వృత్తి రంగాల్లో సమస్యలను సాధించడానికి ఉపయోగపడుతుంది.
 ‘సకల శాస్త్రాలకు మూలం, ద్వారం లాంటిది గణితం’ - బేకన్
 ‘దేశ పురోభివృద్ధిని సాధించగల గణితం మరువరానిది’ - నెపోలియన్
  
 క్రమశిక్షణ విలువ: గణితం మెదడుకు క్రమశిక్షణను కలిగిస్తుంది. విద్యార్థి తన స్వశక్తి మీద ఆధారపడి సమస్యా సాధనకు ప్రయత్నించడమనే లక్షణం ద్వారా అతను జీవిత సమస్యలను ఎదుర్కోగలడు. దీని ద్వారా ‘సమయ పాలనా గుణం’ అభివృద్ధి చెందుతుంది. విద్యార్థుల్లో వేగం, కచ్చితత్వం అలవడుతాయి. విద్యార్థుల్లో క్రమబద్ధత, తార్కిక వివేచన, హేతువాదం అనే లక్షణాలు పెంపొందుతాయి. గణిత బోధన విలువలన్నింటిలో ప్రధానమైంది క్రమశిక్షణ విలువ. హేతువాదంతో మానవుని మేథస్సు స్థిరపడే మార్గమే గణితం అని లాక్ పేర్కొన్నారు.
 
 సాంస్కృతిక విలువ: సంస్కృతిని తెలియజేసే అంశాలన్నింటిలో గణిత పరిజ్ఞానం ఇమిడి ఉంది. అందువల్ల గణితానికి సాంస్కృతిక విలువ ఉంటుంది. దేవాలయాలు, చర్చిలు, మసీదులు, చారిత్రక కట్టడాలు వంటి వాటిని గణితం ఆధారంగానే నిర్మిస్తారు.
 ‘ఆధునిక మానవుని కార్యకలాపాలైన వా ణిజ్యం, పరిశ్రమలు, ప్రభుత్వ యంత్రాం గం మొదలైన వాటన్నింటినీ గణిత శాస్త్ర తర్కం ప్రకారం ప్రదర్శించవచ్చు’. - స్మిత్
 
 కళాత్మక విలువ: గణితం అన్ని కళలకు సృష్టికర్త. సంగీతం, పద్యరచన, శిల్ప కళలు, చిత్ర లేఖనం, నాట్యం మొదలైన లలిత కళల అభివృద్ధి గణితం మీదే  ఆధారపడి ఉంది.
 వీణ, సితార, తబలా వంటి సంగీత వాయిద్యాలను గణిత సూత్రాల ఆధారంగానే తయారు చేస్తారు.
 ‘జ్యామితి బలీయమైంది. కళతో కలిస్తే దానికెదురు లేదు’. - యూరిపిడిస్
 ‘సంఖ్యలతో వ్యవహరించేట్లు తెలియకనే జరిగే అంతర్గత అంకగణిత్వ అభ్యాసమే సంగీతం’. - లైబ్నిజ్
  
 సమాచార విలువ: దీన్ని ‘వృత్తాంత విలువ’ అని కూడా అంటారు. బంగారం ధర, జనాభా లెక్కలు, భూమి వివరాలు వంటి సమాచారం సేకరించడానికి గణిత జ్ఞానం అవసరం. అందువల్ల గణితానికి సమాచార విలువ ఉందని చెప్పవచ్చు.
  మేథో సంబంధిత విలువ:  విద్యార్థుల్లో పరిశీలనాశక్తి, ఏకాగ్రత, తార్కిక ఆలోచన, వివేచన మొదలైన మేథాశక్తుల అభివృద్ధికి గణిత శాస్త్రం దోహదం చేస్తుంది.
  
 సన్నాహ విలువ లేదా సిద్ధపర్చే విలువ: ఒక తరగతి అధ్యయనం వల్ల పై తరగతి అధ్యయనానికి విద్యార్థిని సంసిద్ధున్ని చేస్తుంది.
 సృజనాత్మక విలువ: గణిత చదరాలు, గణిత పజిల్స్, గణిత పొడుపు కథలు మొదలైనవి విద్యార్థుల్లో సృజనాత్మకతను పెంపొందిస్తాయి.


 గణితశాస్త్ర చరిత్ర
 గణిత స్వభావం - ప్రసిద్ధ వాదాలు
 గణిత స్వభావాన్ని వివరించడానికి వివిధ వాదాలున్నాయి.
 తార్కిక వాదం: బెర్ట్రాండ్ రస్సెల్, ఎం.ఎన్. వైట్ హెడ్ రాసిన ‘ప్రిన్‌‌సపియా మేథమెటికా’ తార్కిక వాదాన్ని వివరిస్తుంది. గణితానికి సంబంధించిన అంశాలన్నింటినీ ఏ వైరుధ్యాలు లేకుండా తర్కం నుంచి పొందాలనేది దీని సారాంశం.
 
 సంప్రదాయ వాదం:    డేవిడ్ హిల్‌బర్‌‌ట తన గ్రంథం ‘గండ్లా గెన్‌డెర్ మేథమెటికా’లో ఈ వాదాన్ని ప్రవేశపెట్టారు. దీని ప్రకారం స్వీకృతాలు ప్రధానమైనవి. వీటి నుంచి అతి జాగ్రత్తగా సూత్రీకరించిన పరిమితీయ పద్ధతులను ఉపయోగించి వైరుధ్యాలు లేకుండా గణితాన్ని అంతటినీ సాధించవచ్చు. కర్‌‌ట గోడెల్ అసంపూర్ణతా సిద్ధాంత ప్రవచనం స్వీకృతాలు పరిపూర్ణ ప్రయోజనాన్ని ప్రశ్నించింది. ‘గణిత పునాదుల’ను కదిలించింది.
 
 అంతర్భుద్ధి వాదం (సహజ జ్ఞాన వాదం):
 లియోపాడ్ క్రొనేకర్, హెన్రీ పాయింకర్ ఈ వాదాన్ని ప్రచారం చేశారు. దీని ప్రకారం గణితం అనేది ఒక సాంస్కృతిక ఏకత్వం. ఇది సహజ సంఖ్యల నిర్మాణంపై ఆధారపడి ఉంది. గణిత భావనలు మానవుని ఆలోచనల్లో లీనమై ఉంటాయి. బయటి ప్రపంచంలో వాటి ఉనికి లేదు.
  
 భారతీయేతర గణిత శాస్త్రజ్ఞులు
 పైథాగరస్: గ్రీకు గణిత శాస్త్రవేత్త అయిన పైథాగరస్, ‘థేల్స్’ వద్ద గణితాన్ని అభ్యసించి ఆయన ప్రేరణతో మరింత అధ్యయనానికి
 ఈజిప్ట్, ఆసియా మైనర్, ఇండియా మొదలైన దేశాలు పర్యటించాడు.
 దక్షిణ ఇటలీలోని క్రాటన్‌లో పైథాగరియన్ పాఠశాలను స్థాపించాడు. ‘అయిదు శీర్షాల నక్షత్రం’ ఈ అకాడమీ చిహ్నం.
 పాఠశాల సభ్యుల్లో ఎవరు ఏ విషయాన్ని కనుగొన్నా వాటన్నింటినీ పైథాగరస్ పేరుతోనే ప్రకటించేవారు.
 పైథాగరస్, పాఠశాల సభ్యుల వింత ప్రవర్తనపై ప్రజలకు అనుమానం ఏర్పడటం వల్ల డెమోక్రటిక్ పార్టీకి చెందినవారు పాఠశాలను ధ్వంసం చేశారు. పైథాగరస్ మెటాఫాంటమ్‌కు పారిపోయి అక్కడ హత్యకు గురయ్యాడు.
      
 ఫిలోడస్, ఆర్కిమెడిస్ మొదలైన వారు ఈ పాఠశాలకు చెందిన వారిలో ముఖ్యులు. పైథాగరస్ సిద్ధాంతాలపై ఫిలోడస్ రాసిన పుస్తకం వల్ల పైథాగరస్, అతని అనుచరులు కనుగొన్న విషయాలు ప్రపంచానికి తెలిశాయి. మరణించిన 200 సంవత్సరాల తర్వాత పైథాగరస్ స్వదేశం అతడి గొప్పతనాన్ని గుర్తించింది. రోమ్‌లో పైథాగరస్ విగ్రహాన్ని నిర్మించారు.
 గణితానికి పైథాగరస్  చేసిన సేవలు:
 పైథాగరస్ ‘వైశాల్యం’ అనే అంశంపై  ఎక్కువ కృషి చేశారు. ‘ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో కర్ణంపై చతురస్రం, మిగిలిన రెండు భుజాలపై చతురస్రాల మొత్తానికి సమానం’ అనేది పైథాగరస్ సిద్ధాంతంగా  ప్రసిద్ధి చెందింది.
 జ్యామితీయ పటాల గురించి వివరించడానికి మొదటగా కొన్ని అక్షరాలను తెలిపాడు.
 సంఖ్యావాదం అభివృద్ధిలో కీలక పాత్ర పోషించాడు. త్రిభుజ సంఖ్యలు, చతురస్ర సంఖ్యలు, స్నేహ సంఖ్యలు, పరిపూర్ణ సంఖ్యలను పరిచయం చేశాడు.
 సంఖ్యలను సరి, బేసి సంఖ్యలుగా వర్గీకరించాడు.
 అనుపాత సంబంధ ధర్మాలను తెలిపాడు.
 ఒకే చుట్టుకొలత ఉన్న అన్ని రకాల సంవృత పటాల్లో వృత్తం చాలా ఎక్కువ వైశాల్యం కలిగి ఉంటుందని నిరూపించాడు.
 గణిత విజ్ఞానాన్ని సంగీతంలో ప్రవేశపెట్టాడు.
 సంఖ్యలకు.. 1 - హేతువాదం, 2 - అభిప్రాయం, 3 - న్యాయం, 4 - వివాహం, బేసి సంఖ్యలు - పురుష సంఖ్యలు, సరి సంఖ్యలు - స్త్రీ సంఖ్యలు అనే అర్థాలు ఇచ్చాడు.
 ‘సంఖ్య విశ్వ శాసన కర్త’ అని భావించాడు. ఉపపత్తికి ప్రాముఖ్యం ఇచ్చాడు.
 భూమి సూర్యుని చుట్టూ లేదా సూర్యుని లాంటి ఖగోళ నిర్మాణం చుట్టూ తిరుగుతూ ఉండటం వల్ల రాత్రి, పగలు ఏర్పడుతున్నాయని ఊహించాడు.
 పదార్థాల అనేక లక్షణాలకు పూర్ణాంకాలు కారణం అనే ప్రాతిపదికన సంఖ్యా లక్షణాలు, అంకగణితం, రేఖాగణితం, సంగీ తం, ఖగోళ శాస్త్రాలను అధ్యయనం చేశాడు. ఇవే అంశాలను బోధించాడు.
  
 యూక్లిడ్: ఇతడు గ్రీకు దేశానికి చెందిన వాడు. అలెగ్జాండ్రియా నివాసి. ఖగోళ శాస్త్రజ్ఞుడైన ‘టాలమీ’ ప్రారంభించిన అలెగ్జాండ్రియా రాజ విశ్వవిద్యాలయంలో యూక్లిడ్ గణితాన్ని బోధించేవాడు.
 ‘ఎలిమెంట్స్’,‘డాటా’ గ్రంథాలను రచించాడు.
 ‘ఫాదర్ ఆఫ్ జ్యామెట్రీ’గా గౌరవం పొందాడు.
 యూక్లిడ్ గణితానికి చేసిన సేవలు:
 యూక్లిడ్ తనకు ముందుతరంవారైన థేల్స్, పైథాగరస్, ప్లాటో మొదలైన ఈజిప్ట్, గ్రీకు గణిత మేధావులు కనుగొన్న  విషయాలను క్రమబద్ధీకరించి ‘ఎలిమెంట్స్’ అనే గ్రంథాన్ని రాశాడు.
 జ్యామితీయ నిర్మాణానికి అతి ముఖ్యమైన స్వయం సిద్ధాంతాలు, స్వీకృతాలు, ప్రవచనాలను ప్రతిపాదించాడు.
 యూక్లిడ్ రచించిన మరో గ్రంథం ‘డాటా’. దీంట్లో విశ్లేషణకు సంబంధించిన పద్ధతుల గురించి వివరించాడు.
 యూక్లిడ్ రాసిన ‘ఎలిమెంట్స్’ గ్రంథంలో 13 భాగాలు ఉన్నాయి. మొదటి భాగంలో నిర్వచనాలు, స్వీకృతాలు మొదలైన జ్యామితికి సంబంధించిన ప్రాథమిక విషయాలు, త్రిభుజాలు, వాటి సర్వ సమానత్వాలు (1-26 ప్రతిపాదనలు) సమాంతర రేఖలు, సమాంతర చతుర్భుజాలు (27-32), పైథాగరస్ సిద్ధాంతం (47), దాని విపర్యయం (48) ఉన్నాయి.
 రెండో భాగంలో వైశాల్యాలు, బీజ గణిత సంబంధమైన విషయాలు ఉన్నాయి.
 మూడో భాగంలో వృత్తాలు, చాపాలు, జ్యాలు, అంతర్లిఖిత కోణాలకు సంబంధించిన విషయాలున్నాయి.
 నాలుగో భాగంలో పైథాగరీయన్ నిర్మాణాలు, అంతర్లిఖిత, పరిలిఖిత క్రమ బహుభుజుల నిర్మాణాలు ఉన్నాయి.
 ఐదో భాగంలో అనుపాతానికి సంబంధించి ‘యూడోక్సెస్’ వాదం గురించి తెలిపాడు.
 ఆరో భాగంలో యూడోక్సెస్ వాదాన్ని రేఖా గణితానికి అనువర్తనం చేశాడు. సరూప త్రిభుజాల సిద్ధాంతాలు, తృతీయ, చతుర్థ, మధ్యమ అనుపాతాల నిర్మాణం, వర్గ సమీకరణాల జ్యామితీయ సాధన, శీర్షకోణ సమద్విఖండన రేఖ సిద్ధాంతాలు తెలిపాడు.
 ఏడు, ఎనిమిది, తొమ్మిది భాగాల్లో ప్రాచీ న సంఖ్యా సిద్ధాంతాలు, జ్యామితీయ భావనలతో కూడిన అంకగణిత వివరాలున్నాయి.
 పదో భాగంలో కరణీయ సంఖ్యలు, రేఖా ఖండాల కొలతల నిర్ధారణ, పైథాగరీయన్ త్రికాల గురించి ఉంది.
 చివరి మూడు భాగాల్లో త్రిపరిమాణ జ్యామితికి చెందిన విషయాలున్నాయి.  
 ‘ఎలిమెంట్స్’ గ్రంథం దాదాపుగా  ప్రపంచ భాషలన్నింటిలోకి అనువదితమైంది. బైబిల్ తర్వాత ఎక్కువ ప్రతులు అమ్ముడైన గ్రంథమిదే.
 అబ్రహం లింకన్ తన 40వ ఏట గణితం కోసం కాకుండా, తర్కవివేచన కోసం ‘ఎలిమెంట్స్’ గ్రంథం చదివారు. నేటికీ పాఠశాల గణితంగా బోధిస్తున్న సిలబస్‌లో అధిక భాగం ‘ఎలిమెంట్స్’ను అనుసరించే ఉంది.
  
 జార్జి కాంటర్: ఇతడు రష్యాలోని సె యింట్ పీటర్‌‌స బర్‌‌గలో జన్మించాడు.
 సమితి వాదాన్ని ప్రతిపాదించాడు.
 ‘థియరీ ఆఫ్ ఇన్‌ఫైనట్ సెట్’ అనే వ్యాసాన్ని రాశాడు. ఇది సంచలనాత్మకమైంది.
 
 జార్జి కాంటర్ గణితానికి చేసిన సేవలు:
 సంఖ్యల అనంతశ్రేణి స్వభావం, సమితి వాదం గురించి తెలిపాడు.
 సహజ సంఖ్యా సమితిలోని సంఖ్యలతో అన్వేక సాదృశ్యత ఏర్పరచి అకరణీయ సంఖ్యల లెక్కింపు సాధ్యమని తెలియజేశాడు.
 వీటికి సంబంధించిన అంకగణితాన్ని అభివృద్ధి పరిచాడు.
 ఆధునిక గణిత భాషకు ఆద్యుడు ఇతడే.
 అవిచ్ఛిన్నతకు సంతృప్తికరమైన నిర్వచనం ఇచ్చాడు.
 వాస్తవ సంఖ్యల సగటును లెక్కించడం  సాధ్యంకాదని తెలిపాడు.
 కాంటర్‌తో మొదటి నుంచి ఏకీభవించిన వ్యక్తి డెడికెండ్.