హైదరాబాద్‌: సున్నా గణిత ప్రపంచాన్ని మలుపు తిప్పింది. ప్రాచీన ఈజిప్ట్, మెసపటోమియా, చైనాల్లోనూ శూన్య భావన ఉన్నప్పటికీ దానికి ప్రత్యేకంగా గుర్తులేమీ వినియోగించలేదు. సున్నా అవసరం అయిన చోట ఖాళీగా వదిలేసేవారు. భారతీయులు మాత్రమే తొలిసారి శూన్య భావనకు ఒక అంకెను ఆవిష్కరించారు. అక్కడ నుంచి గణితశాస్త్రంలో ఎన్నో కొత్తకొత్త మార్పులు వచ్చాయి. అలాగే గణితశాస్త్రంలో రీమన్‌ హైపోథీసిస్‌ ఓ అపరిష్కృత సిద్ధాంతం.. 161 ఏళ్లుగా అది చిక్కుముడిగానే మిగిలిపోయింది. ఏ గణిత శాస్త్రవేత్త దాన్ని పరిష్కరించే సాహసం చేయలేకపోయారు. అలాంటి సిద్ధాంతాన్ని హైదరాబాద్‌లోని శ్రీనిధి ఇన్‌స్టిట్యూట్‌ ఆఫ్‌ సైన్స్‌ అండ్‌ టెక్నాలజీలో పనిచేస్తున్న ప్రొఫెసర్ కుమార్‌ ఈశ్వరన్‌ పరిష్కరించి చూపించారు. రీమన్‌ హైపోథీసిస్‌ అంటే ఏమిటి? రీమన్‌ హైపోథీసిస్‌ పాథమికంగా.. ప్రధాన సంఖ్యలను లెక్కించడంలో సహాయపడుతుంది. ఈ పద్ధతిలో పెద్ద సంఖ్యలను సృష్టించవచ్చు. అమెరికన్‌ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు స్టీఫెన్‌ స్మాల​ పరిష్కరించని మొదటి 10 గణిత సమస్యల్లో  రీమన్‌ హైపోథీసిస్‌ టాప్‌లో ఉంటుంది.  ఇక జర్మనీకి చెందిన ప్రఖ్యాత గణిత శాస్త్రవేత్త కార్ల్‌ ఫ్రెడ్రిచ్‌ గెస్‌ ఒక పరిశోధన వ్యాసంలో ఒక సంఖ్యకు దిగువన దాదాపుగా ఎన్ని ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయో గణించే సూత్రాన్ని రాశారు. అది శాస్త్రపరీక్షలో నిలబడలేదు. మరో ప్రఖ్యాత జర్మనీ గణితశాస్త్రవేత్త జార్జ్‌ ఫ్రెడ్రిచ్‌ బెర్న్‌హార్డ్‌ రీమన్‌ (1826-1866) ఈ సిద్ధాంతాన్ని అభివృద్ధి చేసి ‘జెటా ఫంక్షన్‌’ సాయంతో ప్రధాన సంఖ్యల సంఖ్యను గుర్తించవచ్చని ప్రతిపాదించారు. ‘జెటా ఫంక్షన్‌ శూన్యస్థానాలు x = 1/2 అనే రేఖ మీద గుమిగూడి ఉంటాయి’ అని రీమన్‌ ప్రతిపాదించారు. దీనినే రీమన్‌ దత్తాంశం (రీమన్‌ హైపోథీసిస్‌) అని పిలుస్తారు. రుజువు చేస్తే 1 మిలియన్‌ డాలర్లు(సుమారు రూ.7.4 కోట్లు) అయితే ఇది వాస్తవమని రుజువు కాకపోవడంతో 2000 సంవత్సరంలో అమెరికాకు చెందిన ‘క్లే మ్యాథమెటికల్‌ ఇన్‌స్టిట్యూట్‌’ అనే సంస్థ రీమన్‌ సిద్ధాంతాన్ని రుజువు చేసినవారికి మిలియన్‌ డాలర్లు (సుమారు రూ.7.4 కోట్లు) బహుమానంగా ఇస్తామని ప్రకటించింది. అయితే ఈ సిద్ధాంతాన్ని కుమార్‌ ఈశ్వరన్‌ రుజువు చేశారు. ఈ సంస్థ గతేడాది జనవరిలో ఒక నిపుణుల కమిటీని నియమించింది. ఈ కమిటీ సూచన మేరకు ప్రపంచవ్యాప్తంగా 1,200 మంది గణిత నిపుణులు కుమార్‌ ఈశ్వరన్‌ సిద్ధాంతాన్ని సమీక్షించారు. వారు ఇచ్చిన నివేదిక ఆధారంగా ఈ ఏడాది మే 16న నిపుణుల కమిటీ సమావేశమై కుమార్‌ ఈశ్వరన్‌ ఆధారాలు రీమన్‌ దత్తాంశాన్ని నిరూపిస్తున్నాయని ప్రకటించింది. చదవండి:  Vitamin C: తక్కువైతే తంటా.. ఎక్కువైతే మంట! ఫ్లిప్‌కార్ట్‌ ధమాకా సేల్‌: ఇన్వర్టర్ ఏసీలపై భారీ తగ్గింపు


  గణిత శాస్త్రం
  రేఖా గణితం
  1.    తలంలోని n సరేఖీయ బిందువుల ద్వారా  గీయగల రేఖల సంఖ్య?
      ఎ)     బి)
         సి)     డి) 1
  
  2.    సరళరేఖకు గల చివరి బిందువుల సంఖ్య?
      ఎ) 0   బి) 1    సి) 3    డి) 2
  
  3.    (3x–5)°,(x+10)°, (4x+5)°Ë$ త్రిభుజ కోణాలైతే ఆ త్రిభుజంలోని పెద్ద కోణం?
      ఎ) 90°  బి) 89°    సి) 79°    డి) 92°
  
  4.    DABCÌZAB=AC, ÐA=50నిఅయితే వఆ విలువ?
      ఎ) 50° బి) 60°    సి) 65°    డి) 130°
  
  5.    ఒకే తొలి బిందువుతో గీయగల కిరణాల సంఖ్య?
      ఎ) 1     బి) 2    సి) అనంతం       డి) 0
  
  6.    ఒక త్రిభుజంలోని మూడు కోణాల నిష్పత్తి 1:2:3 అయితే అది..?
      ఎ) అల్పకోణ త్రిభుజం    
      బి) అధిక కోణ త్రిభుజం
      సి) లంబకోణ త్రిభుజం    
      డి) సమద్విబాహు త్రిభుజం
  
  7.    మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ రేఖలు ఒకే బిందువు ద్వారా పోతే అవి..?
      ఎ) సమాంతర రేఖలు    
      బి) అనుషక్త రేఖలు
      సి) రేఖా ఖండాలు    
      డి) శూన్య రేఖలు
  
  8.    కింది ఏ కొలతలతో త్రిభుజాన్ని ఏర్పర చలేం?
      ఎ) 6 సెం.మీ, 8 సెం.మీ, 18 సెం.మీ.    బి) 8 సెం.మీ, 10 సెం.మీ, 12 సెం.మీ.    సి) 9 సెం.మీ, 9 సెం.మీ, 9 సెం.మీ.    
      డి) 10 సెం.మీ, 18 సెం.మీ, 9 సెం.మీ.
  
  9.    తలంలోని 8 బిందువుల ద్వారా గీయగల రేఖల సంఖ్య?
      ఎ) 36  బి) 28    సి) 30    డి) 40
  
  10.    ÐA, ÐB Ë$ పూరక కోణాలైతే...
      ÐA +ÐB విలువ?
      ఎ) 180° బి) 360°    సి) 270°    డి) 90°
  
  11.    DPQRÌZ PQ=PR, ÐQ=42° అయితే ÐP విలువ?
      ఎ) 42° బి) 96°    సి) 84°    డి) 90°
  
  12.    పటంలో ్ఠ విలువ?
      ఎ) 98°   
      బి) 36°    సి) 62°    
      డి) 60°
  
  13.    తలంలోని రెండు రేఖలకు ఉమ్మడి బిందువు లేకుంటే అవి..?
      ఎ) లంబరేఖలు
      బి) ఏకీభవించే రేఖలు
      సి) సమాంతర రేఖలు    
      డి) ఖండన రేఖలు
  
  14.    DABCలో BCని పొడిగించగా ఏర్పడిన బాహ్యకోణం 125ని. ÐB=70ని అయితే  ÐA విలువ?
      ఎ) 70° బి) 55°    సి) 90°    డి) 60°
  
  15.    Ðx, Ðy సంపూరక కోణాలైతే Ðx +Ðy  విలువ?
      ఎ) 90° బి) 180°    సి) 270°    డి) 360°
  
  16.    తలంలోని బిందువులు, సరళరేఖల మధ్య  సంబంధాలను తెలిపే ధర్మాలు?
      ఎ) ఆపాత ధర్మాలు       
      బి) సాంద్రత ధర్మాలు    
      సి) తుల్య ధర్మాలు     
      డి) రేఖీయ ధర్మాలు
  
  17.    ÐABCÌZÐA=80ని అయితే అ విలువ?
      ఎ) 80°       బి) 40°
      సి) 100°     డి) 90°
  
  18. కింది పటంలో x,y కోణాలు..?
      ఎ) బాహ్య కోణాలు బి) సాదృశ్య కోణాలు
      సి) అంతర కోణాలు  డి) ఏకాంతర కోణాలు
  
  19.    {పతి రేఖ దానికదే సమాంతరం అనేది?
      ఎ) సౌష్టవ ధర్మం     బి) సంక్రమణ ధర్మం
      సి) అపవర్తిత ధర్మం డి) పరావర్తన ధర్మం
  
  20.    సమబాహు త్రిభుజంలో ఒక భుజాన్ని పొడిగించగా ఏర్పడిన బాహ్యకోణం విలువ?
      ఎ) 120°   బి) 60°       సి) 90°    డి) 180°
  
  21.    సంపూరకాలైన కోణాల నిష్పత్తి 2:3 అయితే ఆ కోణాలు?
      ఎ) 36°, 54°     బి) 144°, 216°
      సి) 72°, 108°    డి) 108°, 62°
  
  22.    తలంలోని రెండు బిందువుల ద్వారా గీయగల వక్రాల సంఖ్య?
      ఎ) 1    బి) 0    సి) 2   డి) అనంతం
  
  23.    పటంలో l||m, Ð1=40ని అయితే Ð2 విలువ?
      ఎ) 40°   బి) 50°       సి) 60°    డి) 140°
  
  24.    180<q<360నిఅయిత్ఞే ఒక ?
      ఎ) అల్ప కోణం     బి) లంబ కోణం
      సి) అధికతర కోణం     డి) సరళ కోణం
  
  25.    సమద్విబాహు త్రిభుజంలో అసమాన భుజం అనేది..?
      ఎ) ఎత్తు    బి) భూమి    
      సి) కర్ణం    డి) నిర్వచించలేం
  
  26.     రేఖ.. ఝ రేఖకు సమాంతరం, ఝ రేఖ,     రేఖకు సమాంతరం అనేది?
      ఎ) సౌష్టవ ధర్మం    బి) పరావర్తన ధర్మం
      సి) సమాన ధర్మం    డి) సంక్రమణ ధర్మం
  
  27.    గడియారంలో 6 గంటల సమయంలో రెండు ముళ్ల మధ్య కోణం?
      ఎ) శూన్య కోణం    బి) సరళ కోణం    సి) సంపూర్ణ కోణం    డి) లంబకోణం
  
  28.    ఒక త్రిభుజంలో ఒక బాహ్యకోణం 120ని. దాని అంతరాభిముఖ కోణాలు 2:3 నిష్ప త్తిలో ఉంటే అందులో ఒక కోణం?
      ఎ) 30°  బి) 40°    సి) 75°    డి) 80°
  
  29.    రెండు సమాంతర రేఖల మధ్య కోణం?
      ఎ) అనంతం    బి) 0°
      సి) 360°     డి) 180°
  
  30.     కింది వాటిలో సరికానిది..?
      ఎ) ఒక త్రిభుజంలో రెండు అల్పకోణాలు ఉండొచ్చు    
      బి) ఒక త్రిభుజంలో ఒక అధిక కోణం ఉండొచ్చు
      సి) ఒక త్రిభుజంలో రెండు లంబ కోణాలు ఉండొచ్చు    
      డి) ఒక త్రిభుజంలో ఏ రెండు భుజాల మొత్తం మూడో భుజం కంటే ఎక్కువ
  
  31.    90°<q<180ని అయితే  ్ఞ ఒక ?
      ఎ) అల్పకోణం     బి) అధిక కోణం
      సి) అధికతరకోణం డి) సమకోణం
  
  32.    కింది పటంలో ఏకాంతర కోణాల జత?
      ఎ) Ð2, Ð6     బి) Ð3, Ð6
      సి) Ð4, Ð6    డి) Ð4, Ð8
  
  33.    ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో రెండు అల్ప కోణాలు 2:3 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి. అందులో ఒక కోణం 54ని అయితే రెండో కోణం?
      ఎ) 36ని  బి) 26ని    సి) 46ని    డి) 90ని
  
  34.    రెండు కోణాలు సమానం, పూరకాలు.. అయితే ఒక్కొక్క కోణం విలువ?
      ఎ) అల్పకోణం
      బి) అధిక కోణం
      సి) లంబ కోణం    
      డి) సరళ కోణం
  
  35.    పటంలో AB||CD, BC||DE అయితే ్ఠ విలువ?
      ఎ) 50°  బి) 60°    సి) 120°    డి) 30°
  
  36.    ఒక జత ఏకాంతర కోణాలు సమానమైతే ఆ రేఖలు?
      ఎ) ఏకీభవించే రేఖలు    
      బి) ఖండన రేఖలు
      సి) సమాంతర రేఖలు    
      డి) లంబంగా ఖండించుకొనే రేఖలు
  
  37.    పటంలో l||BC, అయితే కోణం x విలువ?
      ఎ) 50°  బి) 55°    సి) 70°    డి) 75°
  
  38.    x°, (x+20ని) సంపూరక కోణాలు అయితే ్ఠ విలువ?
      ఎ) 90°      బి) 100°
      సి) 180°    డి) 80°
  
  39.    ఒక త్రిభుజంలోని రెండు కోణాలు పూరకాలు అయితే అది?
      ఎ) అల్పకోణ త్రిభుజం     
      బి) లంబకోణ త్రిభుజం
      సి) అధిక కోణ త్రిభుజం
      డి) సమబాహు త్రిభుజం
  
  40.    కింది పటంలో అఆ్ఢ్ఢఇఈ అయితే ÐBCD?
      ఎ) 50°  
      బి) 30°    సి) 40°    డి) 140°
  
  41.    ఒక త్రిభుజంలోని బాహ్యకోణాల మొత్తం?
      ఎ) 180°      బి) 270°    
      సి) 360°    డి) 90°
  
  42.    DABCÌZÐA=3ÐB, ÐC=2ÐB     అయితే త్రిభుజంలో ÐC విలువ?
      ఎ) 30°      బి) 45°    
      సి) 60°    డి) 90°
  
  43.    రెండు కోణాలు సంపూరకాలు, ఒకదానికి మరొకటి రెట్టింపైతే ఆ కోణాలు?
      ఎ) 50°, 100°     బి) 60°, 120°    
      సి) 30°, 60°    డి) 120°, 240°
  
  44.    సమబాహు త్రిభుజంలో ఒక భుజాన్ని పొడిగిస్తే ఏర్పడిన బాహ్యకోణం విలువ?
      ఎ) 60°      బి) 180°
      సి) 90°    డి) 120°
  
  45.    ఒక త్రిభుజంలోని మూడు కోణాలు (x–2)°, (x+8)°, (x+9)నిఅయితే x విలువ?
      ఎ) 58°      బి) 60°
      సి) 55°    డి) 63°
  
  సమాధానాలు
  
  1) డి    2) ఎ    3) బి    4) సి    5) సి
  6) సి    7) బి    8) ఎ    9) బి    10) డి
  11) బి    12) సి    13) సి    14) బి    15) బి
  16) ఎ    17) బి    18) బి    19) డి    20) ఎ
  21) సి    22) డి    23) బి    24) సి    25) బి
  26) ఎ    27) బి    28) సి    29) బి    30) సి
  31) బి    32) సి    33) ఎ    34) ఎ    35) బి    36) సి    37) డి    38) డి    39) బి    40) సి    41) సి    42) సి    43) బి    44) డి    45) సి